Данный пост представляет собой продолжение опубликованной ранее статьи «Как получить цифровой БИХ фильтр из аналогового или как самому «изобрести» цифровой БИХ фильтр«. В конце этой статьи я обещал показать как получать АЧХ (амплитудно-частотную характеристику) и ФЧХ (фазо-частотную характеристику) полученного фильтра. Ну вот, сдерживаю своё обещание…
Начну с того, что выводить формулу для АЧХ и ФЧХ есть возможным как минимум 2-мя способами (возможно, других способов я просто не знаю). Вывод конечных формул в обоих случаях тривиален, но в одном из них мы должны обладать минимальными знаниями из курса «Теория электрических цепей» ну, а в другом из них нам нужно знать преобразование Лапласа (кстати, которое мы уже использовали в предыдущей статье из цикла статей по ЦОС (цифровой обработке сигналов)). Мы рассмотрим оба способа. Дабы не запутывать читателя, 2 способа получения конечных уравнений будут изложены в 2 разных постах. Логичнее будет начать со способа, который базируется на преобразовании Лапласа. В предыдущей статье была получена формула:

\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{1+s\tau}, где \tau=RC

Еще тогда, я сделал акцент на этом выражении следующими словами: «Полученное отношение образов можно рассматривать как отношение выходного спектра (экспоненциальных осциллограмм) к входному спектру (экспоненциальных осциллограмм)». Иными словами, я хотел сказать читателю, что это и есть формула своего рода АЧХ. Вся загвоздка в том, что это АЧХ от комплексной переменной s. Да, такое АЧХ действительно используется инженерами и дает много выгод, но изображать его приходится на комплексной s-плоскости и для начинающего может быть слегка затруднительным и пугающим. Поэтому, в данной статье мы не будем рассматривать АЧХ комплексной переменной s. Мы рассмотрим привычного рода АЧХ в виде зависимости амплитуды на выходе фильтра (по оси Y) от частоты (по оси X). Для получения «обычного» АЧХ из «АЧХ комплексной переменной/частоты» вместо комплексной переменной s  делается подстановка j\omega .

s=j\omega

Но зачем менять одну комплексную переменную на другую? — спросите Вы. Ответ простой. Мы хотим получить формулу, которая будет зависеть только от одной переменной (частоты). Выражение же в начальном виде содержит 2 переменные, вложенные в комплексную переменную s (коэффициент затухания и частоту). Итак, будем считать, что пока Вам всё понятно, ну а если не понятно — просто делаем подстановку:

K(s)=\frac{1}{1+sRC}{,=> }K(j\omega)=\frac{1}{1+j{\omega}RC}=\frac{1{\cdot}(1-j{\omega}RC)}{(1+j{\omega}RC){\cdot}(1-j{\omega}RC)}=\frac{1}{1+({\omega}RC)^2}-j\frac{{\omega}RC}{1+({\omega}RC)^2}

Я сознательно выделил мнимую и реальную часть. Мы рассматриваем реальные сигналы, реального мира и будет логичней получить АЧХ от реальной частоты. Для этого достаточно взять модуль от комплексного числа:

|K(j\omega)|=\sqrt{(Re(K(j\omega)))^2+Im(K(j\omega)))^2)}

После упрощений получаем:

|K(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+({\omega}RC})^2}

Полученное выражение есть не что иное, как АЧХ нашего с Вами RC-фильтра! Теперь можно себе позволить её нарисовать:

Rendered by QuickLaTeX.com

Из полученного графика можно сделать вывод о том, что чем выше частота сигнала на входе исследуемого фильтра, тем больше она будет ослаблятся на его выходе, т. е. фильтр будет пропускать низкие и не пропускать высокие частоты (к чему мы собственно и стремились).

Ну а теперь и черёд ФЧХ:

\varphi(\omega)=atan(\frac{Im(K(j\omega))}{Re(K(j\omega))})=atan(\frac{{-\omega}RC{\cdot}(1+({\omega}RC)^2)}{(1+({\omega}RC)^2){\cdot}1})

После сокращения получаем:

\varphi(\omega)=atan({-\omega}RC)

Графически ФЧХ можно представить так:

Rendered by QuickLaTeX.com

Данный график показывает нам, что чем выше частота сигнала на входе фильтра, тем больше будет искажаться его фаза (постоянную составляющую не заденут фазовые искажения). Именно за это свойство и не особо любят фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, ведь они искажают сигнал. Но это совсем другая история…

Ну что же, в данной статье мы с Вами рассмотрели первый способ получения АЧХ и ФЧХ RC-фильтра с использованием преобразования Лапласа. В результате получены символьные записи (формулы) для АЧХ в виде зависимости амплитуды от частоты и для ФЧХ в виде зависимости фазы от частоты. В следующей статье цикла статей по ЦОС рассмотрим второй способ получения тех же формул. Удачи Вам в познании цифрового мира!