Предыдущий пост из цикла статей по ЦОС рассказывал нам о том, как можно получить АЧХ и ФЧХ низкочастотного фильтра используя «Метод преобразования Лапласа» (так я его там именовал). В той таки статье было сказано и о том, что существует ещё один способ получения формул для АЧХ и ФЧХ. В данной статье речь будет идти о методе под названием «Метод прямого вывода» (термин любительский и придуманный мною :-). Давайте вспомним схему исследуемого RC фильтра:

1.SchemeОтношение напряжения на выходе к напряжению на входе цепи можно записать как:

\frac{U_{out}}{U_{in}}=\frac{X_{c}}{X_{c}+R}

где

X_{c}=\frac{1}{j{\omega}C}

Подставим это выражение в первую формулу:

\frac{U_{out}}{U_{in}}=\frac{X_{c}}{X_{c}+R}=\frac{1}{j{\omega}C\cdot({\frac{1}{j{\omega}C}+R})}=\frac{1}{1+j{\omega}RC}

Что мы видим в этой формуле? Да это же и есть формула АЧХ! А почему бы и нет? Формула показывает отношение на выходе фильтра к напряжению на его входе в зависимости от:

  • значения величины сопротивления резистора;
  • значения ёмкости конденсатора;
  • значения комплексной частоты j\omega :-(.

Комплексной частоты?! Опять что-то непонятное… Кажется, я уже говорил, что благодаря работе с комплексной арифметикой, иногда получить финальную формулу значительно проще и удобней, чем пользуясь математикой без комплексного числа. Ну, а боятся этой комплексной переменной уж точно не стоит. Это всего лишь j=\sqrt{-1}. Зачастую работа с ней сводится к получению модуля и фазы. Модуль для полученного выражения будет равен:

|K(\omega)|=|\frac{U_{out}}{U_{in}}|=\sqrt{{Re(\frac{1}{1+j{\omega}RC})}^2+{Im(\frac{1}{1+j{\omega}RC})}^2}

Кому не понятно, как получить реальную и мнимую часть комплексного числа (выражения), объясняю:

\frac{U_{out}}{U_{in}}=\frac{1}{1+j{\omega}RC}=\frac{1{\cdot}(1-j{\omega}RC)}{(1+j{\omega}RC)(1-j{\omega}RC)}=\frac{1}{1+({\omega}RC)^2}+j\frac{-{\omega}RC}{1+({\omega}RC)^2}=Re+jIm

Теперь подставляем полученные реальную и мнимую часть в формулу для |K(\omega)|:

|K(\omega)|=\sqrt{(Re(\frac{1}{1+j{\omega}RC}))^2+(Im(\frac{1}{1+j{\omega}RC}))^2}=\sqrt{\frac{1}{(1+({\omega}RC)^2)^2}+\frac{(-{\omega}RC)^2}{(1+({\omega}RC)^2)^2}}

После упрощений получим:

|K(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+({\omega}RC)^2}}

Результирующее выражение является формульным представление АЧХ рассматриваемого фильтра. Нарисуем график:

Rendered by QuickLaTeX.com

Перейдем к рассмотрению ФЧХ.

\varphi(\omega)=atan(\frac{Im(\frac{1}{1+j{\omega}RC})}{Re(\frac{1}{1+j{\omega}RC})})=atan(\frac{{-\omega}RC{\cdot}(1+({\omega}RC)^2)}{(1+({\omega}RC)^2){\cdot}1})

После сокращения получаем:

\varphi(\omega)=atan({-\omega}RC)

Графически ФЧХ можно представить так:

Rendered by QuickLaTeX.com

Данный график показывает нам, что чем выше частота сигнала на входе фильтра, тем больше будет искажаться его фаза (постоянную составляющую не заденут фазовые искажения). Именно за это свойство и не особо любят фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, ведь они искажают сигнал. Но, опять же, это совсем другая история…

Как видим, мы получили те же самые формулы и графики, что и в предыдущей статье (хотя и использовали две абсолютно разных методики получения конечного результата).  Вот она — сила физики и математики!