Июн28

Дискриминант квадратного уравнения (вывод)

by admin on 28.06.2015 at 14:50
Опубликовано: Разное

Часто, изучая основы математики, мы принимаем на веру многое или даже все, даже не задумываясь о том, как была получена или как получить самому ту или иную формулу. Как то, меня посетила мысль о том, что я совсем не понимаю, откуда взялся дискриминант такого простого и такого квадратного уравнения вида:

ax^2+bx+c=0

Написав это выражение на листочке бумаги, мне захотелось решить его, не зная тех всеми известных формул из школьной программы. Я начал с того, что нарисовал график уравнения. Получилась парабола вида:

Parabola_with_vertexВершину для параболы найти довольно просто. Производная в этой точке должна равняться нулю. Производная квадратного уравнения:

2ax+b=0

x=-\frac{b}{2a}

Т. е. нами был получен x для вершины параболы. С другой же стороны мы хотим найти такой(ие) значения для x, в которых значение функции будет равняться 0. На графике чётко видны эти точки пересечения:

Parabola_with_vertex_and_roots

Поскольку график параболы — симметричный, положим расстояние от точки пересечения до координаты \Delta x. Тогда корнями квадратного уравнение будут:

x_{1,2}=-\frac{b}{2a}\pm \Delta x

Подставим предполагаемое решение -\frac{b}{2a} + \Delta x в начальное уравнение:

a(-\frac{b}{2a} + \Delta x)^2 + b(-\frac{b}{2a} + \Delta x) + c = 0
(-\frac{b}{2a} + \Delta x)(a(-\frac{b}{2a} + \Delta x) + b) + c = 0
(-\frac{b}{2a} + \Delta x)(-\frac{b}{2} + a\Delta x + b) + c = 0
\frac{b^2}{4a} - \frac{b \Delta x}{2} - \frac{b^2}{2a} - \frac{b \Delta x}{2} + a {\Delta x}^2 + b \Delta x + c = 0

После упрощения получим:

\frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + a {\Delta x}^2 + c = 0
-\frac{b^2}{4a} + a {\Delta x}^2 + c = 0
a {\Delta x}^2 = \frac{b^2}{4a} - c
{\Delta x}^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac {c}{a}
\Delta x = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

В результате получаем привычную для всех запись:

x_{1,2}=-\frac{b}{2a} \pm \Delta x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Вот собственно и все! Путём нехитрых математических действий (не считая производную :-) ) получаем желаемый результат. Именно запись:

D = \sqrt{b^2-4ac}

и называют дискриминантом. Что ещё сказать о дискриминанте? Запись выделена в школьной программе просто для удобства и никакой магией не обладает. Более интуитивным является выражение:

\Delta x = \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

которое имеет геометрический смысл — это длинна отрезка \Delta x указанного на втором рисунке. О геометрическом смысле дискриминанта судите сами!