Часто, при изучении физико-математических дисциплин, мы настолько абстрагируемся от реальных физических понятий к математическим абстракциям, что забываем о назначении дисциплины в целом. Математика служит человечеству для описания, то есть моделирования физических процессов. Для большей наглядности, удобно показать разницу между различными математическими представлениями и их физической сущностью на практике. Например, можно представить математические формулы сравнивая их с соответствующими звуковыми сигналами. Многие из нас в достаточной мере владеют математическими приемами, но мало кто догадывается о том, что звуковые сигналы всем известного мобильного телефона часто создаются с использованием тех же математических формул. Звуки набора для клавиш, например, представляют собой синусоподобные функциональные зависимости (или же комбинацию тригонометрических функций).

В этой статье мы рассмотрим, как могут «звучать» те или иные математические формулы :)

Гармонические функции и «гармоничные звуки».

Рассмотрим математическое выражение:

s(t) = Asin(2\pi f t),

где s(t),  — выходная функция («звук»),

A — амплитуда (отвечает за мощность «звука»),

f— частота колебаний,

t — переменная времени.

Графическое представление данной записи (функции) выглядит следующим образом:

1Рис. 1. Графическое представление синусоидальной функции (159.24 Гц)

Здесь, изменение значения функции можно сравнить с колебанием листа бумаги в воздухе — вверх и вниз. Медленные колебания мы не можем услышать. Человеческое ухо способно слышать колебания с частотами от 20 до 15000 герц. То есть, если осуществлять более 20 колебаний вверх-вниз за одну секунду лоском обычной бумаги, то вполне вероятно услышать звуковой сигнал низкой частоты. Осуществлять такие движения нам не под силу. Осуществлять механические движения данного типа частоты под силу представителям животного мира, например, жуку или пчеле. Крылья шмеля успевают совершить движений вверх и вниз примерно 150 раз в секунду, благодаря чему наше ухо способно услышать характерный звук.

Для того чтобы понять разницу между функцией s(t) = Asin(2\pi f t):

2Рис. 2. Графическое представление синусоидальной функции (159.24 Гц)

и функцией s(t) = Asin(2\pi 2 f t):

3Рис. 3. Графическое представление синусоидальной функции двойной частоты (318.47 Гц)

достаточно прослушать следующие аудиозаписи:

— первая функция звучит так (частота 159.24 Гц):


Нажмите на ссылку, чтобы скачать файл (159.24Hz)(sin)

— вторая функция звучит так (частота 318.47 Гц):


Нажмите на ссылку, чтобы скачать (318.47Hz)(sin)

На данном примере подчеркнуто зависимость между математическим представлением функции и ее реализацией.  В первом случае значение функции проходит один полный цикл за 6.28 миллисекунды, (количество колебаний составляет \frac{1}{0.00628} = 159.24 раз за секунду). Мы видим, что разница между первым и вторым выражением только в коэффициенте, стоящем возле значения f. Значение 2 изменяет функцию так, чтобы она совершила «полный цикл» 2 раза за 6.28 миллисекунды, то есть 318.47 раза в секунду. В результате слышно разницу в звучании между первым и вторым случаем.
С физической точки зрения мы рассматривали два сигнала, отличавшихся друг от друга только по частоте (число полных колебаний в секунду). Теперь рассмотрим разницу между выражением:

s(t) = Asin(2\pi f t)

и

s(t) = \frac{A}{4} sin(2\pi f t).

Анализируя графическое представление первого:4

Рис. 4. Графическое представление синусоидальной функции максимальной амплитуды (159.24 Гц)

и второго выражения:5

Рис. 5. Графическое представление синусоидальной функции четвертичной амплитуды (159.24 Гц)

можно заметить разницу в их амплитудах. Значение первой функции находится в пределах [-10, 10], второй — в пределах [-2,5; 2,5]. Итак, приходим к выводу, что первый «звук» в четыре раза сильнее по сравнению со вторым. Действительно, если обратить внимание на коэффициенты, находящихся слева от тригонометрической функции синуса, то можно заметить, что в первом случае мы имеем значение амплитуды равно A, во втором случае \frac{A}{4}, то есть амплитуда второго «звука» в 4 раза меньше амплитуды первого «звука» (а значит, будет звучать тише в четыре раза).

Для наглядности, предлагаю прослушать начальный звуковой фрагмент s(t) = Asin(2\pi f t):


Нажмите на ссылку, чтобы скачать файл (159.24Hz)(sin)

 и результат уменьшения амплитуды в четыре раза s(t) = \frac{A}{4} sin(2\pi f t):


Нажмите на ссылку, чтобы скачать файл (159.24Hz)(Adiv4)

 С амплитудой и частотой синусоиды вроде как бы разобрались. Но сигналы бывают и другой формы…

«Прямоугольные звуки». В предыдущем пункте рассмотрены случаи, когда осуществляются плавные (синусоидальные или же гармонические) колебания. На практике, колебания могут быть разнообразными, например «прямоугольными» (названо по форме). На рисунке ниже показано графическое представление таких колебаний:

6Рис. 6. Графическое представление прямоугольной функции (318.47 Гц)

 Математически, данную функцию можно задать так:

s(t) = \begin{cases} 10, A sin(2\pi f t) > 0 \\ -10, A sin(2\pi f t) < 0 \end{cases}

То есть, функция s(t) принимает значение «10» если выполняется условие A sin(2\pi f t) > 0 и «-10» если выполняется условие A sin(2\pi f t) < 0.

Рассмотрим разницу между «прямоугольными» и «гармоническими» колебаниями одинаковой частоты (количество полных циклов в секунду в обоих случаях составляет 318.47) прослушав два разных звука.

Гармонические колебания:

7Рис. 7. Графическое представление синусоидальной функции  (318.47 Гц)

 Звук для гармонического колебания:


Нажмите на ссылку, чтобы скачать файл (318.47Hz)(sin)

 Прямоугольные колебания:

 8Рис. 8. Графическое представление прямоугольной функции (318.47 Гц)

 Звук для прямоугольного колебания:


Нажмите на ссылку, чтобы скачать файл (318.47Hz)(square)

 Разница между двумя звуками очевидна (даже на слух). В первом случае мы имеем плавный звук, во втором — резкий.

Вот собственно и все что я хотел сказать. Эта статья была создана для того, чтобы читатель «ощутил» математические формулы на слух, ведь именно отсюда начинается интерес (тогда, когда виден или же слышен:) кое-какой результат).