Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики RC фильтра низких частот (метод прямого вывода)
on 13.09.2014 at 16:16Предыдущий пост из цикла статей по ЦОС рассказывал нам о том, как можно получить АЧХ и ФЧХ низкочастотного фильтра используя «Метод преобразования Лапласа» (так я его там именовал). В той таки статье было сказано и о том, что существует ещё один способ получения формул для АЧХ и ФЧХ. В данной статье речь будет идти о методе под названием «Метод прямого вывода» (термин любительский и придуманный мною :-). Давайте вспомним схему исследуемого RC фильтра:
Отношение напряжения на выходе к напряжению на входе цепи можно записать как:
где
Подставим это выражение в первую формулу:
Что мы видим в этой формуле? Да это же и есть формула АЧХ! А почему бы и нет? Формула показывает отношение на выходе фильтра к напряжению на его входе в зависимости от:
- значения величины сопротивления резистора;
- значения ёмкости конденсатора;
- значения комплексной частоты
:-(.
Комплексной частоты?! Опять что-то непонятное… Кажется, я уже говорил, что благодаря работе с комплексной арифметикой, иногда получить финальную формулу значительно проще и удобней, чем пользуясь математикой без комплексного числа. Ну, а боятся этой комплексной переменной уж точно не стоит. Это всего лишь . Зачастую работа с ней сводится к получению модуля и фазы. Модуль для полученного выражения будет равен:
Кому не понятно, как получить реальную и мнимую часть комплексного числа (выражения), объясняю:
Теперь подставляем полученные реальную и мнимую часть в формулу для :
После упрощений получим:
Результирующее выражение является формульным представление АЧХ рассматриваемого фильтра. Нарисуем график:
Перейдем к рассмотрению ФЧХ.
После сокращения получаем:
Графически ФЧХ можно представить так:
Данный график показывает нам, что чем выше частота сигнала на входе фильтра, тем больше будет искажаться его фаза (постоянную составляющую не заденут фазовые искажения). Именно за это свойство и не особо любят фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, ведь они искажают сигнал. Но, опять же, это совсем другая история…
Как видим, мы получили те же самые формулы и графики, что и в предыдущей статье (хотя и использовали две абсолютно разных методики получения конечного результата). Вот она — сила физики и математики!
«После упрощений получим: …»
Нет, не получим. Мнимая составляющая возведена в квадрат неправильно. Перепроверьте, пожалуйста.
Здравствуйте skypodolsky!
Спасибо за проявленный интерес! Очень приятно, что ещё существуют люди, которые пытаются разобраться.
Вы правы. Мною была допущена ошибка переписывания с тетрадки. Неправильно внесена мнимая часть под квадратный корень.
Уже поправил!
Результирующее выражение осталось тем же!
Спасибо!
Хорошие статьи!